Основы теории нечетких множеств




Основные определения


Теория нечетких множеств представляет собой обобщение и переосмысление важнейших направлений классической математики. У ее истоков лежат идеи и достижения многозначной логики, которая указала на возможности перехода от двух к произвольному числу значений истинности и поставила проблему оперирования понятиями с изменяющимся содержанием; теории вероятностей, которая, породив большое количество различных способов статистической обработки экспериментальных данных, открыла пути определения и интерпретации функции принадлежности; дискретной математики, которая предложила инструмент для построения моделей многомерных и многоуровневых систем, удобный при решении практических задач.

Подход к формализации понятия нечеткого множества состоит в обобщении понятия принадлежности. В обычной теории множеств существует несколько способов задания множества. Одним из них является задание с помощью характеристической функции, определяемой следующим образом. Пусть — так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в данном классе задач, например множество всех целых чисел, множество всех гладких функций и т.д. Характеристическая функция множества — это функция , значения которой указывают, является ли элементом множества :

Особенностью этой функции является бинарный характер ее значений.

С точки зрения характеристической функции, нечеткие множества есть естественное обобщение обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения на отрезке . В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение — степенью принадлежности

элемента нечеткому множеству .

Более строго, нечетким множеством называется совокупность пар

где — функция принадлежности, т.е. .

Пусть, например,

Будем говорить, что элемент не принадлежит множеству , элемент

принадлежит ему в малой степени, элемент более или менее принадлежит, элемент принадлежит в значительной степени, является элементом множества .




Содержание    Вперед