Основы теории нечетких множеств




Нечеткие операторы


Важным вопросом использования нечетких множеств в прикладных задачах является построение соответствующих операторов агрегирования нечеткой информации и анализ их семантик. В теории нечетких множеств имеется возможность применять различные операции объединения, пересечения и дополнения множеств в зависимости от контекста и ситуации. Основные бинарные операции над нечеткими множествами были описаны выше. Однако можно показать, что для любых нечетких множеств операторы

и являются единственно возможными операторами пересечения и объединения при выполнении следующих свойств:

  1. Коммутативность:

  2. Ассоциативность:

  3. Дистрибутивность:

  4. Монотонность:

С другой стороны, ясно, что жесткие, поточечно однозначные операторы недостаточно полно отражают смысл многозначных лингвистических преобразований термов лингвистических переменных. Поэтому большой практический интерес представляет построение обобщенных нечетких операторов, т.е. параметризованных операторов пересечения, объединения, дополнения и др. Весьма общий и изящный подход к целенаправленному формированию нечетких операторов пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм

Определение.

Треугольной нормой (сокращенно -нормой) называется двухместная действительная функция , удовлетворяющая следующим условиям:

  1. Ограниченность:
  2. Монотонность:
  3. Коммутативность:
  4. Ассоциативность:

Треугольная норма является архимедовой, если она непрерывна и для любого нечеткого множества выполнено неравенство . Она называется строгой, если функция

строго возрастает по обоим аргументам. Примерами треугольных норм являются следующие операторы:

Определение.

Треугольной конормой(сокращенно -конормой) называется двухместная действительная функция , удовлетворяющая следующим условиям:

  1. Ограниченность:
  2. Монотонность:
  3. Коммутативность:
  4. Ассоциативность:

Треугольная конорма является архимедовой, если она непрерывна и для любого нечеткого множества выполнено неравенство . Она называется строгой, если функция строго убывает по обоим аргументам.


Содержание  Назад  Вперед