Основы теории нечетких множеств



         

Многошаговые процессы принятия решений


Для простоты будем полагать, что управляемая система

является инвариантной по времени детерминированной системой с конечным числом состояний. Именно каждое состояние , в котором система

находится в момент времени , , принадлежит заданному конечному множеству возможных состояний ; при этом входной сигнал в момент времени является элементом множества . Динамика системы во времени описывается уравнением состояния

в котором — заданная функция, отображающая в . Таким образом, представляет собой последующее состояние для при входном сигнале . Считается также, что заданы начальное состояние и фиксированное время окончания процесса .

Предполагается, что в каждый момент времени на входную переменную наложено нечеткое ограничение , являющееся нечетким множеством в с функцией принадлежности . Кроме того, считается, что цель — нечеткое множество в , определяемое функцией принадлежности . Задача заключается в нахождении максимизирующего решения.

Можно записать решение как нечеткое множество в в виде

где — нечеткое множество в , индуцируемое в . Для функции принадлежности имеем

где может быть выражено как функция от и

путем последовательного применения уравнения .

Для многошаговых процессов целесообразно представить решение в виде:

где — принятая "стратегия", или правило выбора входного воздействия в зависимости от состояния системы .

Таким образом, задача сводится к нахождению оптимальных стратегий и соответствующей последовательности входных воздействий , максимизирующих . Для решения применяется метод динамического программирования:

где

может рассматриваться как функция принадлежности нечеткой цели в момент , индуцированной заданной целью в момент .

Повторяя процесс обратных итераций, получаем систему рекуррентных уравнений

где , которая дает решение задачи. Таким образом, максимизирующее решение достигается последовательной максимизацией величин , причем

определяется как функция от .

В качестве простого примера рассмотрим систему с тремя состояниями , и и двумя входными сигналами и .


Содержание  Назад  Вперед