Основы теории нечетких множеств
Операции отрицания
Пусть множество значений функций принадлежности является линейно упорядоченным множеством с наименьшим 0
и наибольшим 1 элементами. Примером
может служить интервал вещественных чисел , шкала лингвистических оценок (например, L={"неправдоподобно", "малоправдоподобно", "средняя правдоподобность", "большая правдоподобность", "наверняка"}, шкала балльных оценок и др.
Определение.
Операцией отрицания на называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:
(О1) ;
(O2) .
В зависимости от выполнения на дополнительных условий, рассматриваются следующие типы отрицаний:
- Строгое отрицание: ;
- Квазистрогое отрицание: ;
- Инволюция: ;
- Обычное отрицание: ;
- Слабое отрицание: .
Слабое отрицание называется также интуиционистским отрицанием. Элемент из будет называться иволютивным элементом, если , в противном случае он будет называться неиволютивным. Отрицание будет называться неиволютивным, если содержит неиволютивные по этому отрицанию элементы.
Элемент , удовлетворяющий условию , называется фиксированной точкой. Этот элемент будет центральным элементом (фокусом) . Очевидно, что если фиксированная точка существует, то она единственна.
Отрицание называется сжимающим в точке , если выполнено условие
Отрицание называется сжимающим на , если оно сжимающее в каждой точке множества .
Отрицание называется разжимающим в точке , если выполнено условие
Отрицание называется разжимающим на , если оно является разжимающим в каждой точке множества .
Теорема
Для любого отрицания любая точка является либо сжимающей, либо разжимающей.
Доказательство
Пусть , тогда из условия (О2) получим , откуда следует либо , либо . Аналогично, из
получаем , и, следовательно, либо , либо
Следствие
Элемент является иволютивным тогда и только тогда, если он одновременно сжимающий и разжимающий.
Используя математические методы, можно доказать, что элементы, порождаемые сжимающими и разжимающими отрицаниями в точках, представляют собой спирали, соответственно "закручиваемые внутрь" или "раскручиваемые наружу".
Эти спирали либо бесконечные, либо в конечном случае имеют петлю на конце, состоящую из двух элементов, которые для сжимающих отрицаний могут совпадать, образуя неподвижную точку отрицания. Спирали, порождаемые разными элементами, либо вложены друг в друга, либо совпадают, начиная с некоторого элемента.
На рис. 8.1 даны примеры сжимающего и разжимающего в точке
отрицания. Элементы представлены вершинами соответствующего графа и упорядочены снизу вверх, в частности, . Элементы y порождаются элементами так, что
для рис. 8.1(А) и для рис. 8.1(Б).
Рис. 8.1.
Рассмотрим простейшие примеры отрицаний. Во всех примерах предполагается, что содержит элементы, отличные от 0 и 1.
Пример.
"Все, что не истина и не ложь, является неопределенностью".
Рис. 8.2.
где — некоторый элемент из такой, что . Это отрицание является сжимающим, ни обычным, ни слабым, с фиксированной точкой.
