Основы теории нечетких множеств



         

Четкие арифметики нечетких треугольных чисел


Вернемся к рассмотрению нечетких треугольных чисел как частного случая нечетких чисел -типа, т.е. имеющих вид .

Мы будем строить арифметику , где — операции сложения и умножения, определенные на нечетких треугольных числах. В построенной арифметике для каждого элемента будут существовать противоположные и обратные элементы. Поэтому нет никакой необходимости в определении операций вычитания и деления.

Определяя операции сложения и умножения, мы можем вычислять размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел либо по одному алгоритму, либо по разным. Сперва рассмотрим случай, когда размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел вычисляется по одному алгоритму. Определим операции сложения и умножения нечетких треугольных чисел следующим образом:

где — либо сложение, либо умножение,

— некоторая бинарная операция, определенная на множестве неотрицательных действительных чисел.

Опишем, какими свойствами должна обладать операция для того, чтобы сложение и умножение были коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны, а также существовали противоположные и обратные элементы.

Очевидно, что для того, чтобы операция была коммутативной и ассоциативной,

также должна быть коммутативной и ассоциативной, т.е. удовлетворять следующим условиям:

(1)

Пусть — нечеткий ноль. Очевидно, что его мода равна нулю, а коэффициенты размытости , и фиксированные значения. Тогда для любого имеем

Для того, чтобы каждое нечеткое число обладало противоположным, необходимо, чтобы для любого

существовали , такие, что

Аналогично, если — нечеткая единица, то для любого имеем

И для любого существуют , такие, что

Легко заметить, что алгебраическая система

образует абелеву группу. Следовательно,

и для любого имеем .

Для того, чтобы операции удовлетворяли условию дистрибутивности, необходимо и достаточно, чтобы для любых

операция удовлетворяла следующему условию:

(2)

Если коммутативна и ассоциативна, то получим

Следовательно, для того, чтобы условие (2) выполнялось, достаточно, чтобы была коммутативна, ассоциативна и идемпотентна, т.е.


Содержание  Назад  Вперед