Основы теории нечетких множеств
Четкие арифметики нечетких треугольных чисел
Вернемся к рассмотрению нечетких треугольных чисел как частного случая нечетких чисел -типа, т.е. имеющих вид .
Мы будем строить арифметику , где — операции сложения и умножения, определенные на нечетких треугольных числах. В построенной арифметике для каждого элемента будут существовать противоположные и обратные элементы. Поэтому нет никакой необходимости в определении операций вычитания и деления.
Определяя операции сложения и умножения, мы можем вычислять размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел либо по одному алгоритму, либо по разным. Сперва рассмотрим случай, когда размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел вычисляется по одному алгоритму. Определим операции сложения и умножения нечетких треугольных чисел следующим образом:
где — либо сложение, либо умножение,
— некоторая бинарная операция, определенная на множестве неотрицательных действительных чисел.
Опишем, какими свойствами должна обладать операция для того, чтобы сложение и умножение были коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны, а также существовали противоположные и обратные элементы.
Очевидно, что для того, чтобы операция была коммутативной и ассоциативной,
также должна быть коммутативной и ассоциативной, т.е. удовлетворять следующим условиям:
|
(1) |
Пусть — нечеткий ноль. Очевидно, что его мода равна нулю, а коэффициенты размытости , и фиксированные значения. Тогда для любого имеем
Для того, чтобы каждое нечеткое число обладало противоположным, необходимо, чтобы для любого
существовали , такие, что
Аналогично, если — нечеткая единица, то для любого имеем
И для любого существуют , такие, что
Легко заметить, что алгебраическая система
образует абелеву группу. Следовательно,
и для любого имеем .
Для того, чтобы операции удовлетворяли условию дистрибутивности, необходимо и достаточно, чтобы для любых
операция удовлетворяла следующему условию:
|
(2) |
Если коммутативна и ассоциативна, то получим
Следовательно, для того, чтобы условие (2) выполнялось, достаточно, чтобы была коммутативна, ассоциативна и идемпотентна, т.е.
удовлетворяла условиям (1) и для любого
Нетрудно показать, что никакая группа не обладает свойством идемпотентности.
Вывод
Невозможно построить арифметику нечетких треугольных чисел, изоморфную арифметике действительных (четких) чисел, если размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел вычисляется по одному алгоритму.
Теперь рассмотрим случай, когда размытость суммы и произведения определяются по разным алгоритмам. Пусть
Очевидно, что если алгебраическая система
удовлетворяет свойствам коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, существования нейтрального и единичного элементов, существования противоположного и обратного элементов, то она образует ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей и с делением (т.е. почти поле).
Пример.
Рассмотрим поле действительных чисел. Функция является взаимно однозначным отображением на . Определим операции и таким образом, чтобы являлось изоморфизмом соответствующих систем. Очевидно, что должны выполняться следующие равенства:
Таким образом, мы получим
Нетрудно убедиться, что при таком задании операций размытости арифметика
будет коммутативной, ассоциативной и дистрибутивной. Роль нулевого элемента будет выполнять нечеткое треугольное число ; роль единичного элемента — нечеткое треугольное число . Для произвольного нечеткого треугольного числа противоположным числом будет и обратным элементом будет .
Недостатком этой арифметики является то, что в нее не входят четкие и "получеткие" числа, т.е. числа, у которых хотя бы один из коэффициентов размытости равен нулю. Но этого легко избежать, если доопределить ее, например, следующим образом:
Заметим, что, варьируя мощность изоморфного поля, мы тем самым варьируем и мощность множества коэффициентов размытости, используемых в данной арифметике.
