Основы теории нечетких множеств
Задачи нечеткой классификации
Пусть имеется набор фотографических портретов всех членов нескольких семей. Требуется разделить этот набор на группы так, чтобы в каждой оказались портреты членов только одной семьи. Пусть
— функция принадлежности нечеткого бинарного отношения сходства на заданном наборе фотографий. Для каждой пары фотографий и
значение
есть субъективная оценка человеком степени сходства и . Это нечеткое отношение можно рассматривать как своего рода "экспериментальные данные", отражающие понимание человеком понятия "сходства" в данной задаче. Следующий этап — использование этих "данных" для требующейся классификации фотографий.
Заметим, что нечеткое отношение обладает естественными свойствами рефлексивности и симметричности. Оно называется одношаговым отношением, в том смысле, что описывает результаты лишь попарного сравнения портретов друг с другом. Для вводится -шаговое отношение следующим образом:
Это отношение является -арной композицией исходного "экспериментального" отношения и представляет собой в некотором смысле его уточнение. Нетрудно показать, что для любых выполняется цепочка неравенств
из которой следует, в частности, что для любых
последовательность имеет предел при . Таким образом, существует предельное отношение сходства, определяемое равенством
Это предельное отношение является конечным результатом обработки результатов нечетких измерений и следующим образом используется для классификации.
Для произвольного числа () вводится обычное (не нечеткое) отношение :
Нетрудно показать, что для любого ()
есть отношение эквивалентности в , т.е. для любых
выполняются обычные аксиомы эквивалентности
(1) — рефлексивность,
(2) — симметричность,
(3) — транзитивность.
Заметим, что (3) есть следствие того, что предельное нечеткое отношение обладает свойством нечеткой транзитивности
Окончательный этап алгоритма классификации — разбиение множества
на классы эквивалентности по полученному отношению .
Выбор величины порога в этом алгоритме осуществляется, исходя из условий начальной задачи. В приведенном выше примере с фотографиями этот выбор осуществляли следующим образом. Пусть имеется набор из 20 фотографий представителей 3 семей. Тогда величину выбирают так, чтобы в результате реализации алгоритма классификации получилось 3 класса эквивалентности по отношению .
