Основы теории нечетких множеств



         

Порядки и слабые порядки


Антисимметричное, транзитивное нечеткое отношение называется отношением упорядочения или порядком. Мы будем рассматривать только строгие порядки, т.е. порядки, для которых выполняется свойство антирефлексивности. Свойства нестрогих (рефлексивных)порядков во многом совпадают со свойствами строгих порядков.

Различные порядки отличаются друг от друга требованиями, предъявляемыми к условию транзитивности. Слабейшее из этих требований — условие ацикличности отношения строгого порядка , наиболее жесткие требования — условия линейной транзитивности и условие квазисерийности.

Если для отношения сходства условие транзитивности обычно записывают в виде и различные способы определения операции композиции позволяют задавать разные типы транзитивности, причем оказывается, что таких типов существует не так уж и много, то для отношения порядка условие транзитивности нечеткого отношения удобно записывать в виде, аналогичном условию транзитивности обычных порядков:

где — некоторая операция в . Оказывается, что из множества всех отношений порядка можно выделить значительное количество отличающихся друг от друга классов порядков специального вида, определяемых как способом задания операции в , так и способом записи условия транзитивности. Далее перечислим некоторые условия транзитивности, определяющие эти классы нечетких строгих порядков. Учитывая асимметричность отношения строгого порядка , будем полагать , если .

  • Ацикличность:

  • Слабая транзитивность:

  • Отрицательная транзитивность:

  • ()-транзитивность:

  • ()- транзитивность:

  • ()- транзитивность:

  • Сильная транзитивность:

  • Сверхсильная транзитивность:

  • Метрическая транзитивность:

  • Квазисерийность:

  • Ультраметрическая транзитивность:

В общем случае предполагается, что рассмотренные условия транзитивности определены для , хотя некоторые условия могут быть обобщены и на случай, когда является решеткой.

Условия ацикличности, слабой транзитивности и отрицательной транзитивности нечеткого отношения равносильны соответственно условиям ацикличности, транзитивности и отрицательной транзитивности обычного отношения , определяемого следующим образом:


Содержание  Назад  Вперед