MATLAB в инженерных и научных расчетах

       

Относительные значения граничных параметров при



№ п/п
Граничные
параметры рамы
Относительные значения граничных параметров при
критических силах


F1=15,098365
F2=30,980105
F3=73,913165
F4=132,291925
F5=212,607925
1

-4.6771
24.7402
-6.2350
7.6095
-8.7618
2

0.1771
-29.2402
1.7350
-12.1095
4.2618
3

-8.0312
80.2205
-12.7049
28.8284
-20.2855
4

1.0625
-175.4409
10.4098
-72.6569
25.5709
5

6.0937
-258.6614
20.1147
-104.4853
42.8564
6

-3.2651
-489.8187
-37.1538
-317.0371
-135.4205
7

8.0312
-80.2205
12.7049
-28.8284
20.2855
8

-2.7396
203,1811
-13.6448
83.2663
-31.3327
9

6.0937
-258.6614
20.1147
-104.4853
42.8564
10

8,0312
-80.2205
12.7049
-28.8284
20.2855
11

-5.0312
83.2205
-9.7049
31.8284
-17.2855
12

-0.6615
-15.3701
0.1175
-6.8047
1.3809
13

3.3542
-55.4803
6.4699
-21.2190
11.5236
14

-8.0312
80.2205
-12.7049
28.8284
-20.2855
15

6.0937
-258.6614
20.1147
-104.4853
42.8564
16

1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
17

-0.3542
58.4803
-3.4699
24.2190
-8.5236
18

3.8021
-378.6220
24.0546
-155.9232
56.9037
19

8.0312
-80.2205
12.7049
-28.8284
20.2855
20

-5.0312
83.2205
-9.7049
31.8284
-17.2855

Формы потери устойчивости стержней рамы строятся по соотношениям метода начальных параметров. Для стержня 1-3 это выражение (3.26) продольно-поперечного изгиба, для остальных стержней – выражение (3.12) статического изгиба. Протокол построения форм потери устойчивости примет вид
x=0 : 0.001 : 1.0; f=15.098365;  n2=sqrt(f);
EIV1=-(X(2,1)*x-X(4,1)*x.^3/6);
EIV2=-(X(17,1)*х-X(8,1)*x.^2/2-X(9,1)*x.^3/6);
EIV3=-(X(16,1)+X(12,1)*x-X(13,1)*x.^2/2-X(14,1)*x.*3/6);
EIV4=-(X(16,1)+X(17,1)*sin(n2*x)/n2-X(18,1)*(1-cos(n2*x))/n2^2- …


X(19,1)*(n2*x-sin(n2*x))/n2^3);
subplot
(2,2,1), plot (x, EIV1); axis
([0  1 - 0.1  0.1]); grid on
subplot
(2,2,2), plot (x, EIV2); axis
([0  1 - 0.1  0.1]); grid on
subplot
(2,2,3), plot (x, EIV3); axis
([0  1 - 1  1]); grid on
subplot (2,2,4), plot (x, EIV4); axis
([0  1 - 1  1]); grid on
Перед выполнением данного протокола в окно команд необходимо поместить вектор относительных граничных параметров Х при соответствующей критической силе Fi и не забывать корректировать масштабы форм потери устойчивости. Сами формы потери устойчивости представлены на рис. 3.21.


1-ая форма


2-ая форма

Рис. 3.21

3-ая форма


4-ая форма


5-ая форма


Окончание рис. 3.21
В заключение отметим еще одну замечательную особенность матрицы А* задач динамики и устойчивости. Эта матрица описывает связь между собой всех начальных и конечных параметров элементов упругой системы. Поэтому при поиске и построении форм собственных колебаний и потери устойчивости можно назначать единичное значение произвольному элементу матрицы нагрузки В. Последующая нормировка компонентов вектора Х*
относительно кинематических или статических параметров упругой системы приводит благодаря структуре матрицы А*
к одинаковым соотношениям между начальными и конечными граничными параметрами. Другими словами, значения относительных параметров таблиц 3.9, 3.7 и т. д. остаются неизменными независимо от положения единичного элемента матрицы В. Небольшие ограничения касаются тех элементов матрицы В, которые приводят к делению на ноль или
. Например, для уравнения (3.35) это b(19.1)=-1. b(20,1)=-1 и некоторые другие.
3.3.9. Построение эпюр напряженно-деформированного состояния
          с разрывами 1-го рода
Примеры расчета неразрезной балки и рамы, приведенные в п. 3.1, 3.2, показывают, что необходимо учитывать разрывы 1-го рода при построении эпюр напряженно-деформированного состояния. Данная задача требует применения единичной функции Хевисайда Н(х-а) со сдвигом в точку а (рис. 3.22). В этом случае сокращаются тексты программ, а соответствующие эпюры можно получить сразу для всей длины стержня.


;
<


Рис. 3.22
В MATLAB нет встроенной единичной функции Хевисайда, поэтому ее необходимо программировать с применением операторов условного перехода ifend и логического оператора аnd. В качестве примера представим программу, позволяющую построить эпюры прогиба EIJ(x), угла поворота EIj(x), поперечных сил Q(x) и изгибающих моментов М(x) неразрезной балки по рис. 3.1, где выигрыш применения единичных функций наиболее очевиден. Для построения эпюр достаточно взять 500 – 600 точек. С учетом компонентов вектора Х формулы для параметров напряженно-деформированного состояния балки примут вид:
прогиб EIJ(x), 0 £ х £ 14.0 м.
        (3.36)
Как видно из этого выражения необходимо применить 5 разных единичных функций. В формуле (3.36) разности в квадратных скобках представляют собой реакции опор 1, 2, 3.

Угол поворота EIj(x), 0 £ х £ 14.0 м.
             (3.37)
Поперечная сила Q(x), 0 £ х £ 14.0 м.
        (3.38)
Изгибающий момент М(x), 0 £ х £ 14.0 м.
  (3.39)
Программа, реализующая формулы (3.36) – (3.39), организует цикл, в котором применен блок формирования единичных функций. Далее следуют операторы построения эпюр и вывод таблицы значений параметров напряженно-деформированного состояния всей балки. Здесь необходимо подставлять численные значения элементов вектора граничных параметров Х.
Текст программы
n=700; EIv=zeros(n,1); EIfi=zeros(n,1); Q=zeros(n,1);
M=zeros(n,1); x=0.0; dx=14.0/n; X=zeros(n,1);
for  m = 1 : n
if and(x > = 0.0, x < = 2.0)  h1=0; h2=0; h3=0; h4=0; h5=0; end;
if and(x > 2.0, x < = 4.0)  h1=1; h2=0; h3=0; h4=0; h5=0; end;
if and(x > 4.0, x < = 10.0)  h1=1; h2=1; h3=0; h4=0; h5=0; end;
if and(x > 10.0, x < = 12.0)  h1=1; h2=1; h3=1; h4=0; h5=0; end;
if and(x > 12.0, x < = 13.0)  h1=1; h2=1; h3=1; h4=1; h5=0; end;
if and(x > 13.0)  h1=1; h2=1; h3=1; h4=1; h5=1; end;
EIv(m,1)= – (–12.79835*x – (–1.04938)*x.^3/6 + 10*(x – 2).^2*h1 + …


(–34.08093)*(x – 4).^3*h2/6 + 10*(x – 4).^4*h2/24 – …
10*(x – 10).^4*h3/24 + 4.36214*(x – 10).^3*h3/6 – …
40*(x – 12).^3*h4/6 + (–51.33059)*(x – 13).^3*h5/6);
EIfi(m,1)= – (–12.79835 – (–1.04938)*x.^2/2 + 20*(x – 2)*h1 + …
(–34.08093)*(x – 4).^2*h2/2 + 10*(x – 4).^3*h2/6 – …
10*(x – 10).^3*h3/6 + 4.36214*(x – 10).^2*h3/2 – …
20*(x – 12).^2*h4 + (–51.33059)*(x – 13).^2*h5/2);
Q(m,1)= (–1.04938) – (–34.08093)*h2 - 10*(x – 4)*h2 + …
10*(x – 10)*h3 - 4.36214*h3 + 40*h4 – …
(-
51.33059)*h5;
M(m,1)= (–1.04938)*x -
20*h1-(34.08093)*(x – 4)*h2 - …
- 5*(x – 4).^2*h2 + 5*(x – 10).^2*h3 - (4.36214)*(x – 10)*h3 + …
40*(x – 12)*h4 - (- 51.33059)*(x – 13)*h5; X(m,1)=x;
x = x + dx; end;
plot(X, EIv); grid on
% plot(X, Q); grid on
% plot(X, EIfi); grid on
% plot(X, M); grid on
[X  EIv  EIfi   Q   M]
На экране компьютера появится окно с первой эпюрой, совпадающей с рис. 3.1, затем, последовательно снимая символ комментария %, строятся другие эпюры, а в окно команд выводится таблица численных значений кинематических и статических параметров балки. Добавим, что совершенно аналогично можно строить эпюры с разрывами 1-го рода и для любых стержней рам. Если вместо оператора plot(X, EIv) использовать оператор stem(X, EIv,¢filled¢), то получится закрашенная эпюра, мало отличающаяся от обычного представления такого рода графиков. Можно сократить число используемых единичных функций до одной. Однако в этом случае единичную функцию необходимо создать в отдельном М-файле, например, такого содержания
function f = H(t)
if  t < = 0.0  f = 0.0;  else f = 1.0; end;
Этот файл должен быть записан в рабочей папке MATLAB (обычно это папка work) под именем Н. Тогда в головной программе построения эпюр можно использовать одну единичную функцию, но от разных аргументов, т.е.
Н(х – 2), Н(х – 4), Н(х – 10) и т.д. Например, выражение для прогиба (3.36) примет вид
EIv(m,1) = - (- 12.79835*x - (- 1.04938)*x.^3/6 + 10*(x – 2).^2*H(x – 2) + …
(-
34.08093)*(x – 4).^3*H(x – 4)/6 + 10*(x – 4).^4*H(x – 4)/24 - …


10*(x – 10).^4*H(x – 10)/24 + 4.36214*(x – 10).^3*H(x – 10)/6 - …
40*(x – 12).^3*H(x – 12)/6 - 51.33059*(x – 13).^3*H(x – 13)/6).
При выполнении программы на экране компьютера появляется эпюра по  рис. 3.1. Аналогично программируются другие параметры.
3.3.10. Варианты заданий

1
2


3
4


5
6


7
8


9
10



Рис. 3.23

11
12


13
14


15
16


17
18


19
20



Продолжение рис. 3.23

21
22


23
24


25
26


27
28


29
30



Окончание рис. 3.23
Таблица 3.10
Исходные данные к расчету плоских рам

№ варианта задания



h1
h2
h3
F
M
q
м
кН
кНм
кН/м
1
1
3
4
2
3
4
10
16
10
2
2
3
5
3
1
2
40
12
8
3
3
4
2
2
1
2
5
20
6
4
5
4
1
2
1
2
25
25
4
5
5
1
3
3
4
4
10
15
2
6
2
6
4
2
2
1
10
15
12
7
1
3
3
2
1
2
30
40
20
8
1
3
1
1
2
1.5
60
15
15
9
3
4
6
1.5
2
3
30
25
12
10
4
2
3
4
2
1
28
40
8
11
1
1
2
1
2
2
12
15
6
12
4
5
4
1
2
3
5
40
10
13
2
3
4
2
1
1
3
15
18
14
2
1
1
2
4
3
40
20
10
15
5
2
4
4
3
2
15
15
5
16
1
3
2
4
5
1
20
6
12
17
5
4
2
3
2
2
40
10
10
18
1
2
1
4
3
1
25
20
8
19
3
1
4
2.5
4
5
25
25
14
20
5
4
1
2
4
5
15
16
12
21
1
2
3
5
4
3
10
15
16
22
4
2
4
3
2
1
30
40
22
23
5
4
2
4
4
2
60
18
17
24
1
3
5
2
4
5
30
25
14
25
4
2
2
1
2
4
28
40
10
26
5
3
2
2
2
1
20
18
6
27
3
2
1
2
3
4
25
40
10
28
5
4
4
2
3
4
20
15
18
29
2
3
1
3
4
5
40
20
10
30
1
2
5
4
5
1
15
15
7
<


 
Глава IV. Применение пакетов расширений МATLAB в
                            инженерно-научных задачах
 
 
4.1. Пакет расширений Symbolic Math
Система MATLAB является самой крупной системой компьютерной математики, ориентированной на матричные и численные вычисления. Однако MATLAB имеет также и средства аналитических вычислений. Пакет Symbolic Math Toolbox добавил системе MATLAB качественно новые возможности, связанные с выполнением символьных вычислений и преобразований, которые были доступны только в системе принципиально иного класса, относящихся к компьютерной алгебре.  Теперь MATLAB, с учетом новых средств, становится в полной мере универсальной системой. Последняя реализация системы символьной математики Maple 6 в своем ядре и в расширениях имеет около 3000 функций. Система MATLAB с пакетом Symbolic, включающим в себя чуть больше сот­ни символьных команд и функций, намного уступает Maple по ко­личеству таких команд и функций. Однако в данный пакет включе­ны лишь наиболее важные и широко распространенные функции. Кроме того, есть специальная команда, которая дает доступ к ядру Maple, что заметно расширяет круг используемых функций.
Помимо типовых аналитических вычислений (таких как символьное дифференцирование и интегрирование, упрощение математических выражений, подстановка и т. д.) пакет Symbolic позволяет реализо­вать арифметические операции с произвольной точностью.

Содержание раздела