Пример подготовки и решения конкретной задачи

Решение любой задачи в системе Simulink должно начинаться с постанов­ки задачи. Чем глубже продумана постановка задачи, тем больше вероятность успешного ее решения. В ходе постановки задачи нужно оценить, насколько решение задачи отвечает возможностям пакета Simulink и какие компоненты последнего могут потребоваться для решения заданной задачи.

В качестве примера рассмотрим тривиальную задачу моделирования работы линейного осциллятора. Осциллятором в механике называют механическую систему с одной степенью свободы, совершающую колебания около положения устойчивого равновесия (например, маятник, груз на пружине). Колебания осциллятора описываются следующим дифференциальным уравнением  [ 8 ]

                                       

,                                       ( 1 )

здесь 

- обобщённое ускорение осциллятора ;  - обобщённая сила линейного сопротивления;  - обобщённая квазиупругая сила;  – обобщённая гармоническая возмущающая сила.

Данное уравнение применяется также и для исследования колебаний немеханических систем. В частности, колебательный контур является осциллятором. Колебания напряжённостей электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне вполне можно описывать предыдущим дифференциальным уравнением. В квантовой механике задача о линейном осцилляторе решается с помощью уравнения Шредингера. Законы колебаний линейного осциллятора играют важную роль в теории твёрдого тела, электромагнитного излучения, колебательных спектров молекул.

Запишем уравнение (1) в форме

                              

.                                        ( 2 )

В основу воплощения уравнения (1) в блок-схему положим следующую идею последовательного итерационного процесса:

-   если сформировать правую часть уравнения (1) зависящую от  х , x' , считая их известными, то станет известно ускорение  x'' осциллятора. Проинтегрировав ускорение, можно получить скорость x' , а последующее интегрирование даёт закон изменения  перемещения осциллятора  х ( t ). Полученные значения скорости и перемещения можно теперь использовать для формирования правой части.

Итак, для формирования блок-схемы, осуществляющей численное интегрирование, можно сделать следующее:
1. В основу блок-схемы положено два последовательно соединённых интегратора (блоки Integrator) с внешне задаваемыми начальными условиями в соответствии с системой дифференциальных уравнений
                                                                   ( 3 )
и начальными условиями  при  t = 0     x = x0 ,  x' = x'0 .
На вход первого интегратора подаётся ускорение  V' , а в качестве начального условия используется начальное значение скорости  V(0) = x'0 ; выходом этого блока будет текущая скорость осциллятора  V = V ( t ); эту величину следует подать на вход второго интегратора с начальным условием в виде начального значения отклонения  x (0) = x0 ; выход из блока будет представлять собой искомый закон движения  х = х (t).
2. Сформулировать отдельным блоком в виде подмодели (блок Subsystem) функцию правой части f(t, x, x') = h sin (pt) – 2nx' – k2 x , используя в качестве входных параметров полученные значения  х ( t )  и  x' ( t )  в качестве входных величин  -  h, p, n, k .


3. Используя созданную подмодель, в основной модели связать сформулированные текущие значения  х ( t )  и  х' ( t )  с соответствующими входами подмодели, а выход подмодели связать с сумматором;  сигнал с выхода сумматора подать на вход первого интегратора, замыкая цепь интегрирования.
4. Для отображения результатов интегрирования в графической форме подсоединить блок Scope  к выходу системы – сформированному сигналу  х ( t ); для отображения фазового портрета осциллятора использовать блок  XY Graph , на входы которого направить сигналы  x ( t )  и  x' ( t ).
Блок-схема, реализующая указанные идеи приведена на рисунке 4.17.
Отметим также, что при построении блок-схемы подсистемы (рисунке 4.16) связь подсистемы с основной системой осуществляется путём ввода в подсистему стандартных блоков типа  In
(Вход) и Out (Выход). Все величины, которые формируются в основной модели, а затем должны быть использованы в подмодели, должны "проникать" в подсистему через блоки  In , а величины, сформированные в подсистеме и затем используемые в основной системе, должны "выходить" из подсистемы через блоки   Out .



Рис. 4.16. Блок-схема подмодели линейного осциллятора.

Рис. 4.17. Блок-схема основной модели линейного осциллятора
При этом на изображении блока подсистемы в блок-схеме основной модели автоматически появляется такое количество входов, которое совпадает с числом введенных в подсистеме блоков  In , и выходов, равных числу блоков  Out , использованных в подсистеме.
Вызвав команду  Start  из меню  Simulation  окна основной блок-схемы, можно активизировать процесс моделирования созданной S – модели осциллятора. По окончании этого процесса появится дополнительное графическое окно, созданное блоком  XY Graph , на котором изображается фазовый портрет осциллятора при выбранных параметрах. Если теперь дважды щёлкнуть мышью на блоке  Scope  в блок-схеме осциллятора, то появится ещё одно графическое окно (рисунок 4.18) с графиком зависимости координаты  х  от времени.

Рис. 4.18. Колебания линейного осциллятора
Изменяя данные настройки входных блоков  Constant, можно проводить исследования поведения осциллятора при произвольных значениях входных параметров.

Рис. 4.19. Резонансные колебания осциллятора ( при p = k )
В качестве заданий применения пакета расширений  Simulink рассматривается задача об определении управляющих факторов, обеспечивающих программное движение манипулятора [ 7 ].
Манипулятор (рис. 4.24 – 4.26), состоящий из звеньев 1, 2 и захвата D, приводится в движение приводами  А  и  В. Захват D перемещается вдоль прямой  ON.  Co  стороны   привода  А   к  звену   1   прикладывается  либо управляющий момент МА (варианты 2, 4, 7, 8, 12, 22, 24-26, 29), либо управляющее усилие РА (варианты 1, 3, 5, 6, 9-11, 13-21, 23, 27, 28, 30). Привод  В  воздействует на звено 2 либо моментом МВ (варианты 1-3, 5, 6, 8-11, 13-21, 23, 27), либо управляющим усилием РВ (варианты 4, 7, 12, 22, 24-26, 28-30).
Перемещение звена  1 (варианты 3, 4, 7, 12, 22, 24-26, 28-30) или звена 2 (варианты 1, 2, 5, 6, 8-11, 13 - 21, 23, 27) манипулятора ограничено препятствиями К и L, поэтому изменение угла поворота ? = ? (t) этого звена возможно лишь в интервале [?(0), ?(?)], где ? — время движения звена. Технические условия работы манипулятора требуют, чтобы указан­ное звено сошло со связи К при t = 0 и «мягко» коснулось препятствия L при t = ?, т. е. так, чтобы были удовлетворены условия


                                  .
Программные движения звена 1, удовлетворяющие требованиям «мягкого» касания, приняты в таком виде:
1) ? (t) = ? (0) + [? (?) - ? (0)] (10 – 15 t / ? + 6 t2 / ?2)  (варианты 2, 4, 6, 7, 11, 12, 16, 19, 22, 24-26, 28-30);
2) ? (t) = ? (0) + [? (?) - ? (0)] [t / ? - (1/(2?)) sin (2?t/?)] (варианты 1, 3, 5, 8-10, 13-15, 17, 18, 20, 21, 23, 27).
Значения  ? (0) и  ? (?) заданы в таблице. Силами сопротивления движению пренебречь. Механизм распо­ложен в горизонтальной плоскости. Движением захвата относительно звена 1 пренебречь.
В задании приняты следующие обозначения:
m1 — масса первого звена, захвата и переносимого в захвате объекта;
ш2
— масса второго звена;
J1 - момент инерции звена 1, захвата и переносимого в захвате объ­екта относительно
главной центральной оси инерции;
J2
- момент инерции звена 2.
Центр тяжести звена 1 находится в точке С (варианты 1- 4, 6-8, 11-13, 16, 18-20, 22-30) или в точке А (варианты 5, 9, 10, 14, 15, 17, 21).
Требуется:
1. Вычислить значения управляющих сил и моментов в начале тормо­жения звена 1. Считать, что торможение звена 1 начинается в тот момент, когда угловое ускорение звена обращается в ноль.
2. Построить графики зависимости управляющих моментов и сил от времени.
Пример выполнения задания.  Дано: m1 = 2 кг; m2 = 3 кг; Jl = 0,8 кг м2; l = 1 м;
? (0) = 0, ? (?) = ? / 6 рад; ? = 0,5 с.
Центр тяжести звена 1 находится в точке С  (рис. 4.20):
? (t) = ? (0) + [? (?) - ? (0)] [t / ? - (1/(2?)) sin
(2?t/?)]


Найти управляющий момент М и управляющую силу Р.
Р е ш е н и е. Для решения задачи применим уравнения Лагранжа II
рода. Будем рассматривать механическую систему как систему с двумя степе­нями свободы, приняв за обобщенные координаты угол ? поворота звена  1  и смещение  х  звена  2 (рис.4.20)
                  Рис. 4.20                                  
Для рассматриваемой механической системы можно записать:
yC2 = const;           xC1= х + l cos ? ;          yC1


= l sin ? .                      (1)
Эти равенства играют роль уравнений связей.
В соответствии с выбранными обобщенными координатами имеем
                                                                                        (2)
Совокупность уравнений (1) и (2) позволяет составить дифференциальные уравнения движения механической системы.
Составим выражение  для кинетической энергии системы  Т как функцию обобщенных скоростей    и    и обобщенных координат  ? и х .  Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии  T1  звена 1 и  Т2  звена 2
 .
Кинетическая энергия звена 1, совершающего плоское движение,

где    ;    .
Продифференцировав (1) по времени, будем иметь
 ;      ,
откуда       .
Таким образом,
    .
Определим обобщенные силы    Q?   и   Qx .
Обобщенные силы Qx
и Q?  можно определить и из выражения ра­боты сил на элементарных перемещениях системы, соответствующих вариации каждой обобщенной координаты:
?Ax=Qx?x = P ?x;         ?A?=Q??? = M ?? ,
отсюда    Qx = Р  и   Q? = М .
Подставляя полученные значения кинетической энергии и обобщённых сил в уравнения Лагранжа  II
рода (2), получим
        
         .
Эти равенства представляют собой зависимость управляющего момента М и управляющего усилия Р от известных функций .
Данные управляющие факторы находим с помощью пакета расширения  Simulink , составляя блочную модель механизма манипулятора

Рис. 4.21. Модель механизма манипулятора
Данная модель содержит подмодель (рис. 4.22), определяющая изменение   с течением времени

                                  Рис. 4.22. Субмодель механизма манипулятора
Результат такого имитационного моделирования для управляющих факторов представляется в виде двух осциллограмм
                                     
Рис. 4.23, a. Программное изменение управляющего момента  M (t)
                                     
Рис. 4.23, b. Программное изменение управляющего усилия  Р (t)
Варианты расчётов управляющих моментов М (t) и сил  Р (t) , обеспечивающих программное движение манипулятора приведены на рисунках 4.24 – 4.26, соответствующие числовые данные приведены в таблице.


 
Рис. 4.24

Рис. 4.25

Рис. 4.26

Номер варианта	m1	m2	J1	J2	l, м	?, с	?(0)	?(?)
кг	кг	кг м2	кг м2	рад	рад
1	3	-	0,5	0,6	0,5	1	? / 3	2 ? / 3
2	4	-	1	2	0,3	0,25	0	?/3
3	2	-	1	2	0,2	1	0	?/3
4	2,5	2,5	0,8	-	0,8	0,5	?/6	?/3
5	4	-	2	2	0,5	2	?/6	?/3
6	2,5	-	1,2	1,5	0,3	0,9	0	?/3
7	2	3	0,6	-	0,7	0,5	?/6	?/3
8	3	-	0,9	2	0,4	0,3	?/6	?/3
9	2	-	0,8	1,4	0,3	1	0	?/3
10	3,5	-	1,4	1,6	0,4	2	0	?/6
11	2,5	-	1	1,4	0,5	0,5	0	?/4
12	3	3	0,7	-	0,7	0,4	?/6	?/3
13	4	-	1,5	2	0,3	0,5	0	?/6
14	3	-	1,4	1,8	0,4	1,5	?/6	?/3
15	2,5	-	1	1,2	0,5	0,5	?/6	?/3
16	3	-	1,2	2	0,3	0,3	0	?/4
17	3	-	1,2	2	0,3	1,8	?/6	?/3
18	2	-	0,6	0,8	0,4	0,8	?/6	?/3
19	3	-	1,7	2	0,3	0,6	?/6	?/3
20	3,5	-	1,2	1,6	0,4	0,6	?/4	?/2
21	4	-	2	2	0,5	0,5	?/6	?/4
22	2,5	4	1,2	1,8	0,3	0,8	?/6	?/2
23	4	-	1,1	1,7	0,4	1	?/3	?/2
24	3	3	1,4	-	0,6	1	0	?/3
25	2,5	3	1	-	0,8	0,5	0	?/3
26	3,5	4	1,6	2	0,4	0,9	0	?/6
27	2	-	1,1	1,5	0,4	0,7	0	?/3
28	3	2,5	0,7	-	0,7	0,4	?/6	?/3
29	2	3	1,3	-	0,5	1,2	0	?/3
30	2,5	4	0,8		0,6	0,4	?/6	?/4

Содержание раздела

---

---