MATLAB в инженерных и научных расчетах
К решению систем линейных уравнений
Пусть задана система п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными:
Система уравнений (2.1) в матричной форме представляется следующим образом:
АХ = В, (2.2)
где А – квадратная матрица коэффициентов, размером п ´ п строк и столбцов;
Х – вектор-столбец неизвестных;
В – вектор-столбец правых частей.
Систему уравнений (2.2) можно решить различными методами. Один из наиболее простых и эффективных методов является метод исключения Гаусса и его модификации. Алгоритм метода основан на приведении матрицы А
к треугольному виду (прямой ход) и последовательном вычислении неизвестных (обратный ход). Эти процедуры можно выполнять над невыраженными матрицами, в противном случае метод Гаусса неприменим.
Недостатком метода является накапливание погрешностей в процессе округления, поэтому метод Гаусса без выбора главных элементов используется обычно для решения сравнительно небольших (п
£ 100) систем уравнений с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем. Если матрица А сильно разрежена, а ее определитель не близок к нулю, то метод Гаусса пригоден для решения больших систем уравнений. В MATLAB имеется обширный арсенал методов решения систем уравнений (2.2) методом исключения Гаусса. Для этого применяются следующие операторы
|
/ |
- правое деление; |
|
\ |
- левое деление; |
|
Ù - 1 |
- возведение в степень –1; |
|
inv(A) |
- обращение матрицы А. |
