Основы теории нечетких множеств



         

Операции конъюнкции и дизъюнкции - часть 2


Докажем, что условие дистрибутивности совместно с условиями монотонности и граничными условиями однозначно определяет операции Заде. Итак, пусть нам даны две операции и , удовлетворяющие следующим условиям:

  1. Дистрибутивность:

  2. Монотонность:

  3. Граничные условия:

Из монотонности и граничных условий следует выполнение условий:

Далее выводится условие идемпотентности дизъюнкции:

И из

следует

Аналогично выводится

Установлено, что именно условие дистрибутивности является наиболее жестким ограничением на возможную форму операций конъюнкции и дизъюнкции. Удаление этого свойства из множества аксиом устраняет единственность операций и и дает возможность совершать построения широкого спектра нечетких связок. Свойство дистрибутивности очень важно в логике, так как оно дает возможность совершать эквивалентные преобразования логических форм из дизъюнктивной в конъюнктивную форму и обратно. Оно активно используется в процедурах минимизации логических функций, в процедурах логического вывода на основе принципа резолюции и т.п. Однако, во многих задачах такие преобразования логических форм не являются необходимыми, и поэтому оказалось, что свойство дистрибутивности может быть "довольно безболезненно" удалено из системы аксиом, определяющих нечеткие операции конъюнкции и дизъюнкции. Основной аксиомой для них является ассоциативность, и свойства этих операций во многом определяются общими свойствами ассоциативных функций и операций, активно изучающихся в математике.

Простейшими примерами недистрибутивных операций являются следующие -нормы и -конормы:

(минимум),

(максимум),

(произведение),

(вероятностная сумма),

(t-норма Лукасевича),

(t-конорма Лукасевича),

(сильное произведение),

(сильная сумма).

Для любых -норм и -конорм выполняются следующие неравенства:

Таким образом, -нормы и

являются минимальной и максимальной границами для всех -норм. Аналогично, -конормы

являются минимальной и максимальной границами для всех -конорм. Эти неравенства очень важны для практического применения, так как они устанавливают границы возможного варьирования операций недистрибутивных конъюнкции и дизъюнкции.




Содержание  Назад  Вперед