Основы теории нечетких множеств




Нечеткие меры - часть 2


Следует отметить, что, с точки зрения теории меры, такой подход видится неоправданным, поскольку понятие вероятностной меры является сужением понятия нечеткой меры. Для сравнения рассмотрим обе теоретико-мерные трактовки вероятности и нечеткости.

Пусть — вероятностное пространство. Здесь — минимальная -алгебра, содержащая все открытые подмножества множества , а — вероятностная мера, т.е. функция множества , удовлетворяющая аксиомам (1)—(3). С другой стороны, нечеткое множество описывается функцией принадлежности , принимающей свои значения в интервале . С точки зрения теории отображений и — совершенно разные объекты. Вероятность определяется в -алгебре и является функцией множества, а есть обычная функция, областью определения которой является множество . Поэтому понятия вероятности и нечеткого множества не имеет смысла сравнивать на одном уровне абстрагирования.

Определение.

Функция , определяемая в виде , называется нечеткой мерой, если она удовлетворяет следующим условиям:

  1. — монотонная последовательность .

Тройка называется пространством с нечеткой мерой. Для нечеткой меры в общем случае не должно выполняться условие аддитивности: . Таким образом, нечеткая мера является однопараметрическим расширением вероятностной меры.

Выражение представляет собой меру, характеризующую степень нечеткости , т.е. оценку нечеткости суждения "" или степень субъективной совместимости с . Нетрудно увидеть, что монотонность меры влечет за собой

Для построения нечетких мер используют следующее -правило. Пусть . Тогда

В случае данное выражение называют условием нормировки для -мер. Очевидно, что , . Параметр называется параметром нормировки

-меры. При

имеем класс супераддитивных мер, а при получаем класс субаддитивных мер.




Содержание  Назад  Вперед