Теория и реализация языков программирования


         

праволинейная грамматика. Существует регулярная грамматика


(1) каждое ее правило, кроме S
e, имеет вид либо A
aB, либо A
a, где


(2) в том случае, когда
, начальный символ S не встречается в правых частях правил.

Лемма. Пусть G - праволинейная грамматика. Существует регулярная грамматика G' такая, что L(G) = L(G').

Доказательство. Предоставляется читателю в качестве упражнения.

Теорема 3.2. Пусть G = (N, T, P, S) - праволинейная грамматика. Тогда существует конечный автомат M = (Q, T, D, q0, F) для которого L(M) = L(G).

Доказательство. На основании приведенной выше леммы, без ограничения общности можно считать, что G - регулярная грамматика.

Построим НКА M следующим образом:

  1. состояниями M будут нетерминалы G плюс новое состояние R, не принадлежащее N. Так что
    ,
  2. в качестве начального состояния M примем S, то есть q0 = S,
  3. если P содержит правило S
    e, то
    , иначе F = {R}. Напомним, что S не встречается в правых частях правил, если
    ,
  4. состояние
    , если
    . Кроме того, D(A, a) содержит все B такие, что
    , для каждого
    .


M, читая вход w, моделирует вывод w в грамматике G. Покажем, что L(M) = L(G). Пусть
. Тогда
для некоторой последовательности нетерминалов A1, A2, ... , An-1. По определению, D(S, a1) содержит A1, D(A1, a2) содержит A2, и т.д., D(An-1, an) содержит R. Так что
, поскольку De(S, w) содержит R, а
. Если
, то
, так что e \in L(M).

Аналогично, если
, то существует последовательность состояний S, A1, A2, ... , An-1, R такая, что D(S, a1) содержит A1, D(A1, a2) содержит A2, и т.д. Поэтому
- вывод в G и
. Если
, то
, так что
и
.

Теорема 3.3. Для каждого конечного автомата M = (Q, T, D, q0, F) существует праволинейная грамматика G = (N, T, P, S) такая, что L(G) = L(M).

Доказательство. Без потери общности можно считать, что автомат M - детерминированный. Определим грамматику G следующим образом:

  1. нетерминалами грамматики G будут состояния автомата M. Так что N = Q,
  2. в качестве начального символа грамматики G примем q0, то есть S = q0,
  3. , если D(A, a) = B,
  4. , если D(A, a) = B и
    ,
  5. , если
    .


Доказательство того, что
тогда и только тогда, когда
, аналогично доказательству теоремы 3.2.


Содержание  Назад  Вперед





Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий